LOGIKA MATEMATIKA

A.  PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA, INGKARAN atau NEGASI

1.     PERNYATAAN

·        Definisi :

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

·        Contoh :

-         Sembilan adalah bilangan ganjil

-         Ibukota Indonesia adalah Jakarta

2.     KALIMAT TERBUKA

·        Definisi :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variable atau peubah.

·        Contoh :

-         x + 5 =7

-         p adalah bilangan prima

3.     INGKARAN atau NEGASI

·        Pengertian :

Ingkaran atau negasi disebut juga menyangkal pernyataan.

Negasi atau ingkaran dari pernyataan p ditulis sebagai   ̴p.

Untuk mengingkari atau menyangkal sesuatu, kita menggunakan kata “tidak”, “tidak benar”, atau “bukan”.

Nilai kebenaran dari suatu ingkaran atau negasi selalu berlawanan dengan penyataan semula. Jika “p” benar, maka “   ̴p” salah dan jika “p” salah, maka “  ̴p” benar.

Perhatikan table ebenaran berikut :

p	̴p
B S	S B

·        Contoh :

-         Ingkaran atau negasi dari pernyataan “3 lebih dari 1” adalah . . . .

P    :           3 lebih dari 1

  ̴p  :           3 tidak lebih dari 1

-         Ingkaran atau negasi dari pernyataan “Semua orang beragama” adalah . . .

P    :           semua orang beragama

  ̴p  :           tidak semua orang beragama.

B.  PERNYATAAN MAJEMUK

·        Definisi :

Pernyataan majemuk adalah dua atau lebih pernyataan dapat digabungkan sehingga membentuk pernyataan baru.

·        Penggabungan tersebut menggunakan kata hubung logika seperti dan (˄), atau (˅), jika …, maka …(=>), dan … jika dan hanya jika … (<=>).

·        Pernyataan majemuk ada 4, yaitu :

1.     Konjungsi,

2.     Disjungsi,

3.     Implikasi, dan

4.     Biimplikasi (Implikasi dua arah).

·        Suatu pernyataan dapat bernilai benar atau salah, sehingga ada dua kemungkinan nilai untuk tiap satu pernyataan yaitu benar (B) atau salah (S). Oleh karena itu, untuk gabungan dua pernyataan p dan q (pernyataan majemuk) mempunyai komposisi nilai kebenaran seperti pada table berikut :

p	q
B B S S	B S B S

1.     KONJUNGSI

·        DEFINISI :

Konjungsi adalah pernyataan majemuk  yang menggunakan kata hubung “dan(˄)” .

Konjungsi pernyataan p dan q adalh :

            p ˄ q               dibaca : p dan q

Suatu konjungsi akan mempunyai nilai benar, jika kedua pernyataannya benar,

Sedangkan jika salah sat atau keduanya  bernilai salah, maka konjungsi itu bernilai salah.

p	q	p ˄ q
B B S S	B S B S	B S S S

·        Contoh :

Nilai kebenaran dari konjungsi “Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur dan 7 adalah bilangan genap” adalah …

P          :           Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur berarti Ƭ(p) = B

q          :           7 adalah bilangan genap, berarti Ƭ(q) = S

(p ˄ q):          Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur dan 7 adalah bilangan genap, berarti Ƭ(p ˄ q) = S.

·        Dalam sebuah konjungsi kata logika “dan” dapat diganti dengan “tetapi”, “meskipun”, atau “walaupun”.

Contoh :

“3 adalah bilangan prima dan ganjil” menjadi “3 adalah biangan prima tetapi 3 bilangn ganjil”

2.     DISJUNGSI

·        Definisi :

Disjungsi adalahpernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau (˅)”.

Disjungsi pernyataan p dan q adalah :

            p ˅ q               dibaca : p atau q

·        Suatu disjungsi mempunyai nilai kebenaran salah, jika kedua pernyataannya bernilai salah.

Sedangkan jika salah satu atau keduanya bernilai benar, maka disjungsi itu bernilai benar.

P	q	p ˅ q
B B S S	B S B S	B B B S

·        Contoh:

Nilai kebenaran dari disjungsi “ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut dalam segitita adalah 180°”

P          :           ada bilangan asli yang terbesar, berarti Ƭ(p) = S

q          :           jumlah sudut dalam segitita adalah 180°, berarti Ƭ(q) = B

(p ˄ q):          ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut dalam segitita adalah 180°, berarti

Ƭ(p ˄ q) = B

3.     IMPLIKASI

·        Definisi:

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari

pernyataan p dan q yang berbentuk :

            p => q                        dibaca :         a.  jika p, maka q

                                                            b.  Bila p, maka q

                                                            c.  p hanya jika q

                                                            d.  q jika p

                                                            e.  p syarat cukup bagi q

                                                            f.  q syarat perlu bagi p

·        p disebut antiseden (sebab) dan q disebut konsekuen (akibat/konklusi).